Как измерили Луну и Солнце. Три шага Аристарха.

Памятник Аристарху-Самосскому в Салониках

Греческий остров Самос в Эгейском море - теперь глухая провинция. Сорок километров в длину, восемь - в ширину. На этом крохотном острове в разное время родились три величайших гения - математик Пифагор, философ Эпикур и астроном Аристарх. Про жизнь Аристарха Самосского известно мало. Даты жизни приблизительны: родился около 310 до н. э., умер около 230 до н. э. Как он выглядел, мы не знаем, ни одного изображения не сохранилось (современный памятник Аристарху в греческом городе Салоники - лишь фантазия скульптора). Много лет провёл в Александрии, где работал в библиотеке и в обсерватории. Главное его достижение - книга "О величинах и расстояниях Солнца и Луны", по единодушному мнению историков является настоящим научным подвигом. В ней он вычисляет радиус Солнца, радиус Луны и расстояния от Земли до Луны и до Солнца. Сделал он это в одиночку, пользуясь очень простой геометрией и всем известными результатами наблюдений за Солнцем и Луной, тоже вполне элементарными. На этом Аристарх не останавливается, он делает несколько важнейших выводов о строении Вселенной, которые намного опередили своё время. Не случайно его назвали впоследствии "Коперником античности".

Вычисление Аристарха можно условно разбить на три шага. Каждый шаг сводится к простой геометрической задаче. Первые два шага совсем элементарны, третий - чуть посложнее. В геометрических построениях мы будем обозначать через и центы Земли, Солнца и Луны соответственно, а через и - их радиусы. Все небесные тела будем считать шарами, а их орбиты - окружностями, как и считал сам Аристарх (хотя, как мы теперь знаем, это не совсем так). Мы начинаем с первого шага, и для этого немного понаблюдаем за Луной.

Шаг 1. Во сколько раз Солнце дальше, чем Луна ?

Как известно, Луна светит отражённым солнечным светом. Если взять шар, и посветить на него со стороны большим прожектором, то в любом положении освещенной окажется ровно половина поверхности шара. Граница освещённой полусферы - окружность, лежащая в плоскости, перпендикулярной лучам света. Таким образом, Солнце всегда освещает ровно половину поверхности Луны. Видимая нам форма Луны зависит от того, как расположена эта освещённая половина. При новолунии, когда Луна вовсе не видна на небе, Солнце освещает её обратную сторону. Затем освещенная полусфера постепенно поворачивается в сторону Земли. Мы начинаем видеть тонкий серп, затем - месяц ("растущая Луна"), далее - полукруг (эта фаза Луны называется "квадратурой"). Затем день ото дня (вернее, ночь от ночи) полукруг дорастает до полной Луны. Потом начинается обратный процесс: освещённая полусфера от нас отворачивается. Луна "стареет", постепенно превращаясь в месяц, повёрнутый к нам левой стороной, подобно букве "C", и, наконец, в ночь новолуния исчезает. Период от одного новолуния до другого длится примерно четыре недели. За это время Луна совершает полный оборот вокруг Земли. От новолуния до половины Луны проходит четверть периода, отсюда и название "квадратура".

Рис. 3.

Замечательная догадка Аристарха состояла в том, что при квадратуре солнечные лучи, освещающие половину Луны, перпендикулярны прямой, соединяющей Луну с Землёй. Таким образом, в треугольнике угол при вершине - прямой (рис. 3). Если теперь измерить угол  (обозначим его через ), то получим, что . Для простоты мы считаем, что наблюдатель находится в центре Земли. Это несильно повлияет на результат, поскольку расстояние от Земли до Луны и до Солнца значительно превосходит радиус Земли.

Итак, измерив угол между лучами и во время квадратуры, Аристарх вычисляет отношение расстояний до Луны и до Солнца. Как одновременно застать Солнце и Луну на небосводе ? Это можно сделать ранним утром, когда в ясную погоду видны оба небесных тела. Сложность возникает по другому, неожиданному, поводу. Во времена Аристарха не было косинусов. Первые понятия тригонометрии появятся позже, в работах Аполлония и Архимеда. Но Аристарх знал, что такое подобные треугольники, и этого было достаточно. Начертив маленький прямоугольный треугольник с тем же острым углов , и измерив его стороны, получаем, что , и это отношение примерно равно . Получается, что Солнце в 400 раз дальше от Земли, чем Луна. Эту константу - отношение расстояний от Земли до Солнца и от Земли до Луны, мы мы будем обозначать буквой . Итак, мы нашли, что .

Шаг 2. Во сколько раз Солнце больше Луны ?

Для того, чтобы найти отношение радиусов Солнца и Луны, Аристарх привлекает Солнечные затмения (рис.4). Они происходят, когда Луна загораживает Солнце. При частичном, или как говорят астрономы, частном затмении Луна лишь проходит по диску Солнца, не закрывая его полностью. Порой такое затмение даже нельзя разглядеть невооружённым глазом, Солнце светит как в обычный день. Лишь сквозь сильное затемнение, например, закопчёное стекло, видно, как часть солнечного диска закрыта чёрным кругом.

Рис. 4.

Гораздо реже происходит полное затмение, когда Луна на несколько минут полностью закрывает солнечный диск. В это время становится темно, на небе появляются звёзды. Затмения наводили ужас на древних людей, считались предвестниками трагедий. Солнечное затмение наблюдается по-разному в разных частях Земли. Во время полного затмения на поверхности Земли возникает тень от Луны - круг, диаметр которого не превосходит 270 км. Лишь в тех районах земного шара, по которым проходит эта тень, можно наблюдать полное затмение. Поэтому в одном и том же месте полное затмение происходит крайне редко - в среднем раз в 200-300 лет. Аристарху повезло - он смог наблюдать полное солнечное затмение собственными глазами. На безоблачном небе Солнце постепенно начало тускнеть и уменьшаться в размерах, установились сумерки. На несколько мгновений Солнце исчезло. Потом проглянул первый луч света, солнечный диск стал расти, и вскоре Солнце засветило в полную силу. Почему затмение длится столь короткое время ? Аристарх отвечает на этот вопрос: причина в том, что Луна имеет те же видимые размеры на небе, что и Солнце. Что это значит ? Проведём плоскость через центры Земли, Солнца и Луны. Получившееся сечение изображено на рисунке 5 (а). Угол между касательными, проведёными из точки к окружности Луны называется угловым размером Луны, или её угловым диаметром. Так же определяется угловой размер Солнца. Если угловые диаметры Солнца и Луны совпадают, то они имеют одинаковые видимые размеры на небе, а при затмении Луна действительно полностью загораживает Солнце (рис. 5 (б)), но лишь на мгновение, когда совпадут лучи и . На фотографии полного солнечного затмения (см. рис. 4) ясно видно равенство размеров.

Рис. 5.

Вывод Аристарха оказался поразительно точен ! В реальности средние угловые диаметры Солнца и Луны отличаются всего на . Мы вынуждены говорить о средних диаметрах, поскольку они меняются в течение года, так как планеты движутся не по окружностям, а по эллипсам.

Соединив центр Земли с центрами Солнца и Луны , а также c точками касания и , получим два прямоугольных треугольника и (рис. 5 (а)). Они подобны, поскольку у них есть пара равных острых углов . Следовательно, . Таким образом, отношение радиусов Солнца и Луны равно отношению расстояний от их центров до центра Земли. Итак, . Несмотря на то, что их видимые размеры равны, Солнце оказалось больше Луны в  раз !

Равенство угловых размеров Луны и Солнца - счастливое совпадение. Оно не вытекает из законов механики. У многих планет Солнечной системы есть спутники: у Марса их два, у Юпитера - четыре (и еще несколько десятков мелких), и все они имеют разные угловые размеры, не совпадающие с солнечным.                                                                                               В.Ю. Протасов
Московский Государственный Университет, Механико-математический факультет, Воробьевы Горы, Москва, 119992, e-mail: Этот адрес электронной почты защищен от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.      ( по материалам http://www.astronet.ru )