I. Как измерили земной шар

То, что Земля не плоская, люди знали давно. Древние мореплаватели наблюдали, как постепенно меняется картина звёздного неба: становятся видны новые созвездия, а другие, напротив, заходят за горизонт. Уплывающие вдаль корабли "уходят под воду", последними скрываются из вида верхушки их мачт. Кто первый высказал идею о шарообразности Земли, неизвестно. Скорее всего - пифагорейцы, считавшие шар совершеннейшей из фигур. Полтора века спустя Аристотель приводит несколько доказательств того, что Земля - шар. Главное из них: во время лунного затмения на поверхности Луны отчётливо видна тень от Земли, и эта тень круглая ! С тех пор постоянно предпринимались попытки измерить радиус земного шара. Два простых способа изложены в упражнениях 1 и 2. Измерения, правда, получались неточными. Аристотель, например, ошибся более, чем в полтора раза. Считается, что первым, кому удалось сделать это с высокой точностью, был греческий математик Эратосфен Киренский (276-194 до н. э.). Его имя теперь всем известно, благодаря решету Эратосфена - способу находить простые числа (рис.1). Если вычеркнуть из натурального ряда единицу, затем вычёркивать все чётные числа, кроме первого (самого числа ), затем все числа, кратные трём, кроме первого из них (числа ), и т.д., то в результате останутся одни простые числа.

Рис. 1.

Для современников Эратосфен был знаменит как крупнейший учёный-энциклопедист, занимавшийся не только математикой, но и географией, картографией и астрономией. Он долгое время возглавлял Александрийскую библиотеку - центр мировой науки того времени. Работая над составлением первого атласа Земли (речь, конечно, шла об известной к тому времени её части), он задумал провести точное измерение земного шара. Идея была такова.

В Александрии все знали, что на юге, в городе Сиена (современный Асуан) один день в году, в полдень, Солнце достигает зенита. Исчезает тень от вертикального шеста, на несколько минут освещается дно колодца. Происходит это в день летнего солнцестояния, 22 июня - день наивысшего положения Солнца на небе. Эратосфен направляет своих помощников² в Сиену, и те устанавливают, что ровно в полдень (по солнечным часам) Солнце находится точно в зените. Одновременно (как написано в первоисточнике: "в тот же час"), т.е., в полдень по солнечным часам, Эратосфен измеряет длину тени от вертикального шеста в Александрии. Получился треугольник ( - шест, - тень, рис.2).

Рис. 2.

Итак, солнечный луч в Сиене перпендикулярен поверхности Земли, а значит проходит через её центр - точку . Параллельный ему луч в Александрии составляет угол с вертикалью. Пользуясь равенством накрестлежащих углов при параллельных, заключаем, что . Если обозначить через через длину окружности, а через  длину её дуги , то получаем пропорцию  . Угол  в треугольнике Эратосфен измерил, получилось . Величина  - не что иное, как длина пути от Александрии до Сиены, примерно  км. Её Эратосфен аккуратно вычисляет, исходя из среднего времени движения верблюжьих караванов, регулярно ходивших между двумя городами, а также, используя данные бематистов - людей специальной профессии, измерявших расстояния шагами. Теперь осталось решить пропорцию  , получив длину окружности (т.е., длину земного мередиана)  км. Тогда радиус Земли  равен , это примерно  км. То, что длина земного мередиана выражается столь круглым числом в  км., не удивительно, если вспомнить, что единица длины в 1 метр и была введена (во Франции в конце 18 века), как одна сорокамиллионная часть окружности Земли (по определению !). Эратосфен, конечно, использовал другую единицу измерения - стадий (около 200 м). Стадиев было несколько: египетский, греческий, вавилонский, и каким из них пользовался Эратосфен - неизвестно. Поэтому трудно судить наверняка о точности его измерения. Кроме того, неизбежная ошибка возникала в силу географического положения двух городов. Эратосфен рассуждал так: если города находятся на одном мередиане (т.е., Александрия расположена в точности к северу от Сиены), то полдень в них наступает одновременно. Поэтому, сделав измерения во время наивысшего положения Солнца в каждом городе, мы должны получить правильный результат. Но на самом деле Александрия и Сиена - далеко не на одном мередиане. Сейчас в этом легко убедиться, взглянув на карту, но у Эратосфена такой возможности не было, он как раз и работал над составлением первых карт. Поэтому его метод (абсолютно верный !) привёл к ошибке в определении радиуса Земли. Тем не менее, многие исследователи уверены, что точность измерения Эратосфена была высока, и что он ошибся менее, чем на . Если это так, то улучшить этот результат человечество смогло только через 2 тысячи лет, в середине 19 века. Над этим трудилась группа учёных во Франции и экспедиция В.Я.Струве в России. Даже в эпоху великих географических открытий, в 16 веке, люди не смогли достичь результата Эратосфена, и пользовались неверным значением длины земной окружности в 37.000 км. Ни Колумб, ни Магеллан не знали, каковы истинные размеры Земли, и какие расстояния им придётся преодолевать. Они-то считали, что длина экватора на 3 тысячи км. меньше, чем на самом деле. Знали бы - может и не поплыли бы.

В чем причина столь высокой точности метода Эратосфена (конечно, если он пользовался нужным стадием) ? До него измерения были локальными, на расстояниях, обозримых человеческим глазом, т.е., не более 100 км. Таковы, например, способы в упражнениях 1 и 2. При этом неизбежны ошибки из-за рельефа местности, атмосферных явлений, и т.д. Чтобы добиться большей точности, нужно проводить измерения глобально, на расстояниях, сравнимых с радиусом Земли. Расстояние в км. между Александрией и Сиеной оказалось вполне достаточным.

Упражнение 1. Как вычислить радиус Земли по следующим данным: с горы высотой 500 м. просматриваются окрестности на расстоянии 80 км.?

Упражнение 2. Как вычислить радиус Земли по следующим данным: корабль высотой 20 м., отплыв от берега на 16 км., полностью исчезает из вида ?.                                                                                                                                                                               В.Ю. Протасов
Московский Государственный Университет, Механико-математический факультет, Воробьевы Горы, Москва, 119992, e-mail: Этот адрес электронной почты защищен от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.    

(по материалам сайта http://www.astronet.ru)