Гномон. Определение географических координат
Я полагаю, вы знаете, что такое географические координаты и что высота Полярной звезды над горизонтом приблизительно равна широте места наблюдения. Точнее - высота Полюса мира, так как Полярная находится не точно в точке полюса, а отстоит от него почти на градус. Значит, для измерения широты достаточно измерить высоту полюса мира. Давайте опять прочитаем отрывок из все того же "Таинственного острова"
Сайрес Смит возвратился в Трубы. При свете очага он обстругал две маленькие гладкие дощечки и соединил их концами, так что получилось нечто вроде циркуля с раздвижными ножками. Для скрепления послужил толстый шип акации, найденный среди хвороста.
На юге линия горизонта, освещенная снизу первыми лучами Луны, резко выделялась на небе и могла быть определена с достаточной точностью. В эту минуту созвездие Южного Креста казалось наблюдателю опрокинутым, а Альфа находилась в основании созвездия, более приближенном к Южному полюсу.
Это созвездие расположено не так близко к Антарктическому полюсу, как Полярная звезда к полюсу арктическому. Звезда Альфа отстоит от него примерно на двадцать семь градусов. Сайресу Смиту это было известно, и он должен был учитывать данное расстояние при своих вычислениях К тому же инженер наблюдал эту звезду в момент ее прохождения через нижний меридиан Это значительно облегчало вычисления.
Сайрес Смит направил одну ножку своего циркуля на морской горизонт, другую - на звезду Альфа и по расстоянию между ними определил угловое расстояние Альфы от горизонта. Чтобы твердо зафиксировать полученный угол, он приколол шипами акации обе ножки прибора к третьей поперечной дощечке, так что расстояние между ними было твердо закреплено.
После сделанного оставалось лишь вычислить этот угол, с поправкой на высоту над уровнем моря и учитывая понижение горизонта. Для этого надо было определить высоту плато. Величина угла даст высоту звезды Альфа, а следовательно, и полюса над горизонтом - то есть широту острова, ибо широта какой-либо точки на земном шаре всегда равна высоте полюса над горизонтом в этой точке.
Здесь тоже автор допустил ошибку - в это время года (описанные события происходят в апреле) Южный Крест около полуночи находится в верхней кульминации, а не в нижней, т.е. пересекает меридиан не ниже, а выше полюса и высота Альфы превышает 60°. Но дело даже не в этом - чтобы пользоваться таким "угломерным инструментом" нужно быть, наверное, хамелеоном - во всяком случае, такой большой угол визировать с рук точно не получится. Прибор придется, как минимум, установить на какое-то подобие штатива. Кстати, намного проще и точнее было бы измерять не высоту звезды над горизонтом, а её зенитное расстояние (направление вертикали не нужно визировать - его легко получить с помощью отвеса!)
К тому же я, житель северного полушария (как и герои Жюля Верна), ни за что бы не вспомнил склонение Альфы Южного Креста. А вы?
Пожалуй, стоит подумать над другим способом - и этот способ известен еще с древних времен. Это определение широты по Солнцу с помощью гномона.
Как и в предыдущей работе, определим высоту Солнца - только на этот раз в момент полдня, когда тень гномона совпадает с полуденной линией (кстати, отметьте и точное время полдня - нам оно пригодится в дальнейшем!).
Теперь главная проблема в определении широты - нахождение склонения Солнца на момент наблюдений, причем желательно без компьютера (ведь мы на необитаемом острове). Думаю, даже феноменальная память Сайреса Смита тут не поможет, значение этой величины придется посчитать, но - без расчетов!
Мы знаем, что склонение Солнца изменяется от -23,5° до +23,5° (это наклон земной оси к эклиптике и широты линий тропиков, я надеюсь, что уж эти значения мы вспомним даже на необитаемом острове). Нам придется несколько упростить задачу и считать, что Солнце движется по эклиптике равномерно. В этом случае склонение Солнца приблизительно можно определить по формуле
δо=23,5°sin(D*360/365) , где
D - количество дней, прошедших после весеннего равноденствия
Графически это можно сделать так:
Построим окружность радиусом 23,5 единицы (что именно будет этой единицей измерения нам не важно - спичка, например, если придется рисовать на песке), Разделим ее на 12 частей, как в предыдущей работе, только на этот раз деления будут изображать месяцы, точнее, интервалы в 30,5 суток. Теперь нужно лишь отложить на окружности дату наших наблюдений, считая горизонтальную ось - линией равноденствий (21 марта и 22 сентября), а вертикальную - солнцестояний (22 июня и 22 декабря). Дату лучше откладывать от ближайшей из этих точек для уменьшения ошибок. Проекция найденной точки на вертикальную ось и даст значение склонения Солнца δо - осталось только точно измерить его нашим "эталоном длины" - спичкой. Такое простое построение гарантирует определение склонения с точностью не хуже 1/2 градуса.
Теперь можно найти широту точки наблюдения - из рисунка видно, что
φ=90°-h+δо , где
δо- склонение Солнца,
h - высота Солнца над горизонтом
Теперь займемся долготой. Здесь без знания времени не обойтись, но, в отличие от жюльверновского XIX века, теперь точные часы не редкость, так что будем полагать, что нам известно время с ошибкой не более полминуты. На этот раз наша задача, кажется, очень проста - ведь долгота (в часовой мере) есть разность между местным и гринвичским временем. Осталось только определить гринвичское время. Но так как мы определяем момент полдня по Солнцу, (т.е. по истинному солнечному времени) то и гринвичское время нам нужно тоже истинное солнечное. Наши же часы показывают среднее поясное время. Дело в том, что Солнце движется по эклиптике неравномерно и продолжительность суток немного меняется на протяжении года, что, конечно, очень неудобно для счета времени. Поэтому и было принято "равномерное" среднее солнечное время, которое определяется по воображаемой точке, совершенно равномерно движущейся по небесному экватору. Разница между средним и истинным солнечным временем может достигать 16 минут и называется уравнением времени. О нем мы поговорим в следующей главе, пока же будем считать, что эта поправка нам известна или мы наблюдаем в один из дней, когда среднее солнечное время совпадает с истинным - это происходит 4 раза в году - 16 апреля, 14 июня, 1 сентября и 25 декабря.
λ=tm-tгр = tm-(Tn-n+η), где
λ - географическая долгота
tгр - истинное гринвичское солнечное время
tm-истинное местное время
Tn-среднее поясное время n-го часового пояса
η-уравнение времени
А в момент местного полдня
λ=12ч-tгр=12ч-Tn+n-η
(долгота считается положительной к востоку от Гринвича)
Номер часового пояса в этой формуле - целое число, показывающее, на сколько часов поясное время отличается от гринвичского. Так, Москва находится во втором часовом поясе, но в 30-е годы XX века было введено "декретное" время, на час опережающее поясное, кроме того, летом стрелки часов переводятся еще на час вперед, следовательно, разница между московским и гринвичским временем составляет 3 часа зимой и 4 - летом.
Теперь мы можем определить гринвичское истинное солнечное время, а, следовательно, и географическую долготу места наблюдения.
А теперь снова посмотрим, как действовали герои Жюля Верна:
- Сегодня пятнадцатое апреля, не правда ли?
- Да, мистер Сайрес, - ответил юноша.
- В таком случае, завтра, если не ошибаюсь, наступит один из четырех дней в году, когда истинное время совпадает со средним. Иначе говоря, дитя мое, завтра солнце пересечет меридиан за несколько секунд до полудня. Если будет хорошая погода, мне, вероятно, удастся определить долготу нашего острова с приближением до нескольких градусов.
...
Сайрес Смит отыскал на берегу совершенно чистое место, хорошо выровненное отливом. Тонкий слой песка был гладок, как зеркало, песчинки лежали одна к одной, словно на подбор. Впрочем, этот слой мог быть не вполне горизонтальным, а воткнутая в него шестифутовая жердочка могла стоять и не совсем отвесно. Наоборот, инженер даже наклонил ее слегка к югу, то есть в противоположную от солнца сторону, ибо не следует забывать, что обитатели острова Линкольна находились в Южном полушарии и потому видели дневное светило не над южным, а над северным горизонтом.
Тут Харберт понял, каким образом инженер собирается установить момент кульминации солнца или его прохождения через меридиан, то есть, другими словами, время полудня для данной местности. Этому должна была служить тень палочки на песке. Таким способом Сайрес Смит без всяких инструментов мог получить достаточно точные результаты.
Действительно, в ту минуту, когда тень станет короче всего, будет ровно двенадцать часов дня. Наблюдателю оставалось только следить за концом тени, чтобы заметить, когда она снова начнет удлиняться. Наклонив жердь к югу, Смит увеличил размеры тени, чтобы легче было наблюдать за ее изменениями. Ведь чем крупнее стрелка часов, тем заметнее ее движение. А тень жердочки на песке была, в сущности, той же стрелкой на циферблате.
Когда нужный момент наступил, Сайрес Смит опустился на колени и начал отмечать постепенное уменьшение тени, втыкая в землю маленькие прутики. Товарищи инженера, низко склонившись, с величайшим интересом следили за этой операцией.
Журналист держал в руках свой хронометр, готовясь отметить его показания в ту минуту, когда тень будет всего короче. Вычисление производилось 16 апреля, в день, когда среднее время совпадает с истинным временем. Следовательно, показания часов Гедеона Спилета должны были соответствовать истинному вашингтонскому времени, что значительно упрощало вычисления.
Между тем солнце медленно подвигалось по небу. Тень от палочки становилась все короче. Но вот инженеру показалось, что она снова начала удлиняться, и он спросил:
- Который час?
- Пять часов и одна минута, - немедленно ответил Спилет.
Теперь оставалось только сделать расчет. Это было весьма просто. Разница во времени между Вашингтоном и островом Линкольна составляла, в круглых цифрах, пять часов - иначе говоря, когда на острове Линкольна наступил полдень, в Вашингтоне было уже пять часов вечера. Солнце в своем кажущемся движении вокруг Земли проходит один градус в четыре минуты, или пятнадцать градусов в час. Пятнадцать градусов, умноженные на пять, составляют семьдесят пять градусов.
Итак, если Вашингтон лежит на 77°3'11", или, в круглых цифрах, на семьдесят седьмом градусе от Гринвичского меридиана, который американцы, подобно англичанам, считают за нулевой, то, значит, остров Линкольна расположен на 77°+75° к западу от Гринвича, то есть на 152° западной долготы.
Сайрес Смит сообщил эту цифру своим товарищам. Учитывая, как и при измерении широты, погрешности наблюдения, он счел возможным утверждать, что остров Линкольна лежит между тридцать пятой и сороковой параллелями и между сто пятидесятым и сто пятьдесят пятым меридианами к западу от Гринвича.
М-да... Все рассуждения и вычисления безукоризненны, но с практическими наблюдениями на этот раз все совсем плохо... Длина тени около полудня изменяется довольно медленно и определить момент, когда она станет самой короткой вряд ли получится с точностью лучше, чем 10-15 минут, да и наклон гномона "на глазок", как и возможная негоризонтальность площадки только внесут дополнительные ошибки в измерения. И ведь что самое обидное - инженер ранее определил направление меридиана, но почему-то не воспользовался им для определения момента полдня.
А какова точность полученного нами результата? Попробуем оценить ее хотя бы приблизительно. Примем, что ошибка наблюдения тени гномона в угловой мере не превышает 1/2° и вызвана нечеткостью тени, примерно такую же по величине ошибку могут дать погрешности при установке гномона (отклонение его от вертикали и площадки от горизонтальной поверхности), наши геометрические построения при определении склонения Солнца и его высоты - еще 1/2°. То есть суммарная ошибка (а ошибки имеют противное свойство складываться ) может достигнуть полутора градусов. При определении долготы ошибки вызваны только наблюдениями с помощью гномона, и погрешностью хода наших часов. Если мы знаем время с точностью до полуминуты, что составляет 1/8° в переводе в угловые величины, то суммарная ошибка может составить около 1° 8' дуги. Чтобы оценить эти величины в единицах расстояния нужно вспомнить, что 1 морская миля (1852 м) равна средней длине дуги меридиана в 1 угловую минуту. Значит, отклонение определенных нами координат от истинных не превысит 90 миль по широте и 68 миль по долготе, причем с учетом того, что мы находимся не на экваторе (длина дуги в 1' параллели уменьшается с увеличением широты), долготная ошибка может быть заметно меньше. ( по материаламhttp://astroexperiment.ru )
